Differentia

Noch einmal: das Ziegenproblem

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Lieber Christoph,

bei g+ hatte ich nicht ausreichend dargelegt, warum das Ziegenproblem nicht ohne ein Gedächtnis zustande kommen kann. Das will noch nachholen. Der Grund dafür liegt in der Behauptung des Ziegentheoretikers, der meint, dass, wenn die zweite Wahl des Spielers auf einer 1/2-Entscheidung beruhe, es sich dabei um ein „Bauchgefühl“ handelte. Das ist nur eine beschönigende Umschreibung für eine Dummheit. Der Ziegentheoretiker rechnet dem Spieler eine Dummheit zu, obwohl er nur durch eine empirische Wahrscheinlichkeit zu der Erkenntnis kommt, dass eine 2/3-Entscheidung die richtige ist, nicht durch eine wahrscheinliche Empirie, was er allerdings behaupten will. Es geht ohne Gedächtnis nicht, weil nämlich nur durch Gedächtnis die Beobachtung zustande kommen kann, dass das Wahlverhalten des Spielers merkwürdig ist. (Erweist es sich als nicht merkwürdig, entsteht das Problem nicht.)

Denken wir uns die Situation, dass ich der Spielleiter bin und du der Spieler.
Wir spielen das erste Spiel. Du wählst eine Karte und ich zeige dir anschließend eine Niete. Egal nun, wie du dich verhältst, ob du deine Wahl änderst oder nicht, ob du gewinnst oder nicht, nichts davon ist merkwürdig. Denn änderst du deine Wahl, dann entweder aufgrund einer 2/3 oder aufgrund einer 1/2-Erwägung. Das kann ich nicht wissen. Denn auch die 1/2-Erwägung lässt für dich die Möglichkeit zu, die Wahl zu ändern. Oder so formuliert: deine Entscheidung für oder gegen eine Änderung der Wahl entspricht für mich genau 1/2 und nicht 1, weil deine mögliche 1/2-Erwägung sowohl für als auch gegen eine Änderung der Wahl spricht.
Und egal ob du gewinnst oder verlierst, weder ist dein Verhalten merkwürdig, noch das Ergebnis. Denn nur, weil du deine Wahl nicht änderst, kann ich in dem Fall schon wissen, dass du nach einer 1/2-Erwägung handelst. Und wenn du gewinnst, dann kann ich nicht behaupten, du hättest dich geirrt.

Nach dem ersten Spiel ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziegenproblem überhaupt entstehen kann 1/2. So geht es also nicht.

Also muss ich dir ein zweites Spiel anbieten. Damit ist schon angedeutet, dass das Problem nicht ohne Gedächtnis entstehen kann, weil der Beobachtungszusammenhang nach dem ersten Spiel keinerlei Zweifel, Skepsis oder irgendetwas Merkwürdiges zulässt. Und auch nach dem zweiten Spiel gibt es noch keine ausreichende Möglichkeit für mich, dir Dummheit zu unterstellen, nur weil du deine Wahl nicht änderst. Magst du vielleicht im ersten Spiel deine Wahl nicht geändert haben und tust dies jetzt wieder nicht, so muss ich wenigstens im zweiten Spiel das Ergebnis abwarten. Ist dies ein Gewinn, kann ich dir nicht plausibel machen, dass du dich dumm verhalten hast. Erst die Möglichkeit, dass du im zweiten Spiel deine Wahl nicht änderst und du wieder verlierst, lässt für mich den Verdacht zu, dass du nach einer 1/2-Erwägung entscheidest. Aber erstens handelt es sich nur um einen Verdacht und zweitens um ein Gedächtnisprodukt. Denn wo käme der Verdacht her, wenn nicht durch Erfahrung? Und wieder: wenn kein Verdacht, dann kein Problem, dann auch kein weiteres Spiel.
Und daraus folgt die Notwendigkeit, eine drittes Spiel zu spielen, um zu prüfen, was ich dir unterstellen kann und was nicht.

Erst nach dem dritten Spiel könnte ich ein Regel erschließen, dich mich dazu bringt, dir Dummheit zu unterstellen, aber nur dann, wenn du deine Wahl mehr als zwei mal nicht geänderst hast. Aber auch dann dürfte ich dir ein viertes Spiel nicht verweigern, wenn du darauf bestehst. Erst nach dem vierten Spiel könnte ich dir erklären, dass eine 2/3-Wahrscheinlichkeit vorliegt. Vorher nicht, weil ich nicht wissen kann, nach welcher Wahrscheinlichkeitserwägung du entscheidest und unter welchen Bedingungen ich dir plausibel machen kann, dass du dumm handelst. Denn wenn du gewinnst, kann ich nicht behaupten, dass es besser für dich wäre, deine Wahl zu ändern. Das geht nur, wenn du deine Wahl nicht änderst und verlierst.

Das meine ich, wenn ich sage, der Ziegentheoretiker verwechselt empirische Wahrscheinlichkeit mit wahrscheinlicher Empirie. Der Ziegentheoretiker bemerkt die Unwahrscheinlichkeit einer Gedächtnisbildung nicht und behauptet, nachdem sich durch Kommunikation ein Gedächtnis gebildet hat, dass gar kein Gedächtnis notwendig wäre, weil er sich als merkwürdiger Beobachter selbst aus seiner Betrachtung schon wieder heraus gekürzt hat. Aus diesem Grunde nennt er nicht seine Beobachtung merkwürdig, sondern das Verhalten des Spielers, wenn sich zeigt, wie sich der Spieler „richtigerweise“ hätte verhalten sollen, bevor sich ein Gedächtnis gebildet hatte.

Und übrigens: erst nachdem sich ein Gedächtnis gebildet hat, kann der Spielleiter überhaupt erst begreifen, worauf er sich selbst eingelassen hat.

Natürlich würde ein engagierter Ziegentheoretiker all das leugnen, indem er mir drei mögliche Spiele vorrechnet, aus denen der Sachverhalt hervorgeht. Gerade das beweist aber nur die Funktionsweise eines Gedächtnisses, das unter sehr limitierten Möglichkeiten nur sehr limitierte Schlüsse zulässig macht.

Zusammengefasst: deine Wahl und das Ergebnis nach dem ersten Spiel lässt keine Information darüber zu, was ich dir unterstellen kann. Es geht nicht ohne eine zweites Spiel. Könnte ich dir nach dem zweiten Spiel schon unterstellen, dass du nach einer 2/3-Erwägung entscheidest, würde ich dir kein drittes Spiel anbieten. Kann ich dich aber der Dummheit verdächtigen, dann nur, weil ich keine ausreichende Erklärung für Gedächtnisbildung habe.

Die Herkunft des Problems scheint mir rechtfertigungstheoretischer und nicht erklärungstheoretischer Art zu sein. Rechtfertigungstheoretisch, insofern ein Unterschied zwischen wahrscheinlich und unwahrscheinlich beobachtungsmäßig kombiniert wird mit einem Unterschied zwischen besser und schlechter. Besser sei angeblich die Wahl für einen wahrscheinlicheren Gewinn und damit für einen Vorteil. Aber das ergibt sich nicht mit Notwendigkeit. Wir könnten uns gegenseitig genauso gut unterstellen, dass wir beiden an einer fifty-fifty-Lösung interessiert wären, und darum mindestens 4 Spiele spielen, damit die Wahrscheinlichkeitserwägung von 1/2 sich als die richtige erweist. Aber auch das hat keine Notwendigkeit.

Das Täuschungsproblem der Ziegentheoretiker #ziegenproblem

Einen Ziegentheoretiker nenne ich einen Beobachter, der ein Täuschungsphänomen auf etwas anderes als auf seine Beobachtung zurechnet. Für das in diesem Video erläuterte Problem liegt die angebliche Täuschung im „Bauchgefühl“ von Menschen, die sich aber gleichwohl von einem anderen Menschen darüber informieren lassen sollten, dass nicht das Ignorieren des Unterschieds über gegenseitiges Informiertsein das Täuschungsproblem hervor ruft, sondern der sog. Alltagsverstand oder was immer in und am Menschen als Täuschung verursachende Instanz behauptet wird.
In dem oben gezeigten Beispiel geht es um die Frage, wie es sein kann, dass ein Spieler, der auf Gewinn setzt, nicht zuerst auf die 2/3 Wahrscheinlichkeit kommt, wenn er nach seiner Wahl und nach der Wahl des Spielleiters eine 1/2 Wahrscheinlichkeit vermutet, wo doch, wenn man alle Möglickeiten durchrechnet, sich immer eine 2/3 Wahrscheinlichkeit ergibt, weshalb der Spieler seine Wahl ändern sollte.
Wie kann man sich nur so täuschen?
Die Antwort liegt in der Beobachtung des Ziegentheoretikers. Er täuscht sich, solange er nicht merkt wie er bei der Beurteilung des Problems die Bedingungen verwechselt durch die die Beobachtung des Problems entsteht. Er verwechselt nämlich empirische Wahrscheinlichkeit mit wahrscheinlicher Empirie und weigert sich standhaft das einzusehen und macht stattdessen das Bauchgefühl eines anderen für die Täuschung verantwortlich und nicht seine eigene Ignoranz.
Das sei in drei Schritten erklärt:

1. Die empirische Wahrscheinlichkeit für den Spieler ist 1/3, dass unter einer von drei Kartem der Gewinn liegt. (Für den Spiellleiter gilt das nicht, denn er weiß unter welcher Karte der Gewinn liegt. Der Ziegentheoretiker akzeptiert diese empirische Wahrscheinlichkeit des Spielers, geht also davon aus, dass er zunächst genauo so informiert wäre wie der Spieler, nicht wie der Spielleiter.)

2. Nachdem nun Spieler die 1. Karte gewählt hat weiß der Spielleiter, dass der Spieler nicht weiß, ob er mit seiner Wahl gewonnen oder verloren hat und er weiß, ob unter einer von zwei verbleibenden Karten der Gewinn liegt. Wichtig ist nun, dass der Spielleiter anders informiert ist als der Spieler. Für den Spieler gilt vor seiner Wahl eine empirische Wahrscheinlichkeit von 1/3. Der Ziegentheoretiker würde dies akzeptieren, würde also die Informationssituation des Spielers zu seiner eigenen machen. Der Ziegentheoretiker behauptet also, zuvor genauso informiert zu sein wie der Spieler. Nachdem nun Spieler gewählt hat, fühlt sich der Ziegentheoretiker anders informiert. Er ist nun darüber informiert, wie der Spieler informiert ist und außerdem darüber, wie der Spielleiter informiert ist. Jetzt gelten für die Ziegentheoretiker beide Situationen des Informiertseins.

Der Spielleiter weiß nun unter welcher von zwei verbleibenden Karten der Gewinn liegt. Der Spielleiter deckt eine Niete auf und gestattet dem Spieler seine Wahl zu ändern.

3. Für den Spieler gilt nun die Möglichkeit, dass die Wahrscheinlichkeit 1/2 sein könnte. Wichtig: nicht, dass die Wahrscheinlichkeit 1/2 richtig ist, sondern nur: sie könnte für den Spieler in dieser Situation 1/2 sein, weil entweder die erste Wahl stimmte oder sie stimmte nicht, weshalb es ihm egal sein könnte, die Wahl zu ändern. (Übrigens: dies könnte auch ein Grund sein, sie zu ändern.)

Was aber gilt für den Spielleiter? Für ihn gilt, dass er nur in einem von drei Fällen die Möglichkeit hat zwischen zwei verbliebenen Karten eine beliebige als Niete aufdecken kann, in den zwei anderen Fällen muss der Spielleiter eine bestimmte Karte als Niete aufdecken, woraus sich ergibt, dass die andere Karte der Gewinn ist. Der Ziegentheortiker versetzt sich nun als Spieler in die Situation des Spielleiters und rechnet für alle drei Fälle die Möglichkeiten durch, woraus sich ergibt, dass es für den Spieler immer besser wäre, genau die eine von zwei Karten zu wählen, die der Spielleiter nicht gewählt hatte. Das heißt: in zwei von drei Fällen gewinnt der Spieler, wenn er seine Wahl ändert. Der Ziegentheoretiker entzieht sich auf diese Weise der Beobachtung seiner eigenen Beobachtung, indem er meint, der Spieler müsse sich in die Situation des Ziegentheoretikers versetzen, der sich schon in die Situation des Spielleiters versetzt hat. Auf diese Weise verwechselt der Ziegentheoretiker die empirische Wahrscheinlichkeit mit wahrscheinlicher Empirie. Denn die wahrscheinliche Empirie, dass der Spieler in zwei von drei Spielen immer gewinnt, wenn er seine Wahl ändert, hängt damit zusammen, dass der Spielleiter in zwei von drei Fällen keine andere Wahl hat als die, durch seine Wahl die richtige Wahl anzuzeigen, indem er eine Niete aufdeckt und damit auf die andere Karte als Gewinn verweist.

Dass nun aber der Ziegentheoretiker solche Zusammenhänge unbeirrt leugnen will, hängt damit zusammen, dass er immer schon seine Unterscheidungssituation geändert hat und nun nicht mehr verstehen kann, warum ein Spieler, der die Möglichkeit der Wahrscheinlichkeit von 1/2 erwägt, dies nicht tut. Er tut dies aus dem gleichen Grund nicht wie der Ziegentheoretiker sich weigert, die Täuschung auf seine eigene Beobachtung anzuwenden. Er bemerkt seinen blinden Fleck nicht. Stattdessen behauptet er einfach, das „Bauchgefühl“ des anderen sei der Grund für die Täschung und die 2/3 Wahrscheinlickeit seine eine objektive Realität.

Der Grund ist aber die Beoachtung des Ziegentheoretikers, der sich weigert den Opportunismus des Wechsels seiner eigenen Beobachtungsituation zu beobachten. Er stellt um von empirischer Wahrscheinlichkeit auf wahrscheinliche Empirie und das Ausbleiben seiner Selbstbeobachtung wirft auf der anderen Seite ein objektives Ergebnis aus, weil er selbst als Beobachter verschwunden ist.

Der Ziegentheoretiker geht von der Annahme des „tertium non datur“ aus. Daher kommt die Täuschung und daher zugleich auch die wirksame Annahme, sobald diese doppelt kontigent geteilt wird, einer objektiven Realität.

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